Trojúhelník 12 20 30

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 20
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 80,49222356504
Obvod trojúhelníku: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31

Úhel ∠ A = α = 15,56435751871° = 15°33'49″ = 0,27216356304 rad
Úhel ∠ B = β = 26,56328406278° = 26°33'46″ = 0,46436090276 rad
Úhel ∠ C = γ = 137,87435841851° = 137°52'25″ = 2,40663479956 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,41553726084
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,0499223565
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,36661490434

Těžnice: t_a = 24,77990233867
Těžnice: t_b = 20,54326385842
Těžnice: t_c = 6,85656546004

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,59765237307
Poloměr opsané kružnice: R = 22,36224053358

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[10,73333333333; 5,36661490434]
Těžiště: T[13,57877777778; 1,78987163478]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -16,58554506241]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 2,59765237307]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,43664248129° = 164°26'11″ = 0,27216356304 rad
∠ B' = β' = 153,43771593722° = 153°26'14″ = 0,46436090276 rad
∠ C' = γ' = 42,12664158149° = 42°7'35″ = 2,40663479956 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 20 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 20 + 30 = 62

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 2}{2} = 31

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 31 (31 - 12) (31 - 20) (31 - 30) S = 6479 = 80, 49

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 0 , 4 9}{1 2} = 13, 42 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 0 , 4 9}{2 0} = 8, 05 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 0 , 4 9}{3 0} = 5, 37

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}) = 15 ° 3 3^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 3 0}) = 26 ° 3 3^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 3 3^{'} 49 " - 26 ° 3 3^{'} 46 " = 137 ° 5 2^{'} 25 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 0 , 4 9}{3 1} = 2, 6

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 2 0 \cdot 3 0}{4 \cdot 2 , 5 9 7 \cdot 3 1} = 22, 36

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 24, 779 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 20, 543 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 6, 856

Vypočítat další trojúhelník