Trojúhelník 12 21 24
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 21
c = 24
Obsah trojúhelníku: S = 125,98799091125
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5
Úhel ∠ A = α = 29,99547255274° = 29°59'41″ = 0,52435067187 rad
Úhel ∠ B = β = 61,02884677763° = 61°1'42″ = 1,06551477001 rad
Úhel ∠ C = γ = 88,97768066963° = 88°58'37″ = 1,55329382348 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 20,99766515188
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,99880865821
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 10,49883257594
Těžnice: ta = 21,73770651193
Těžnice: tb = 15,80334806293
Těžnice: tc = 12,1866057607
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,42203476882
Poloměr opsané kružnice: R = 12,0021913723
Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[5,81325; 10,49883257594]
Těžiště: T[9,93875; 3,49994419198]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; 0,21443198879]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 4,42203476882]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,00552744726° = 150°19″ = 0,52435067187 rad
∠ B' = β' = 118,97215322237° = 118°58'18″ = 1,06551477001 rad
∠ C' = γ' = 91,02331933037° = 91°1'23″ = 1,55329382348 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=21 c=24
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+21+24=57
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=257=28,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28,5(28,5−12)(28,5−21)(28,5−24) S=15870,94=125,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 125,98=21 vb=b2 S=212⋅ 125,98=12 vc=c2 S=242⋅ 125,98=10,5
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 24212+242−122)=29°59′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 24122+242−212)=61°1′42" γ=180°−α−β=180°−29°59′41"−61°1′42"=88°58′37"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=28,5125,98=4,42
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,42⋅ 28,512⋅ 21⋅ 24=12
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 242−122=21,737 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 122−212=15,803 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 212−242=12,186
Vypočítat další trojúhelník