Trojúhelník 12 25 29
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 25
c = 29
Obsah trojúhelníku: S = 148,91660837519
Obvod trojúhelníku: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33
Úhel ∠ A = α = 24,25552873422° = 24°15'19″ = 0,42333346251 rad
Úhel ∠ B = β = 58,85326100785° = 58°51'9″ = 1,02771718193 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,89221025793° = 96°53'32″ = 1,69110862092 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 24,8199347292
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,91332867002
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 10,27700747415
Těžnice: ta = 26,40107575649
Těžnice: tb = 18,33771208209
Těžnice: tc = 13.22003787824
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,51326085985
Poloměr opsané kružnice: R = 14,6065541223
Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[6,20768965517; 10,27700747415]
Těžiště: T[11,73656321839; 3,42333582472]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -1,75326649468]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 4,51326085985]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,74547126578° = 155°44'41″ = 0,42333346251 rad
∠ B' = β' = 121,14773899215° = 121°8'51″ = 1,02771718193 rad
∠ C' = γ' = 83,10878974207° = 83°6'28″ = 1,69110862092 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=25 c=29
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+25+29=66
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=266=33
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33(33−12)(33−25)(33−29) S=22176=148,92
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 148,92=24,82 vb=b2 S=252⋅ 148,92=11,91 vc=c2 S=292⋅ 148,92=10,27
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 29252+292−122)=24°15′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 29122+292−252)=58°51′9" γ=180°−α−β=180°−24°15′19"−58°51′9"=96°53′32"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=33148,92=4,51
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,513⋅ 3312⋅ 25⋅ 29=14,61
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 292−122=26,401 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 122−252=18,337 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 252−292=13,2
Vypočítat další trojúhelník