Výpočet trojúhelníku SSU
Trojúhelník má dvě řešení, strana c=136.30333837907 a c=55.2087726989
#1 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 125
b = 90
c = 136,30333837907
Obsah trojúhelníku: S = 5475,88328911882
Obvod trojúhelníku: o = 351,30333837907
Semiperimeter (poloobvod): s = 175,65216918954
Úhel ∠ A = α = 63,22222151534° = 63°13'20″ = 1,10334358148 rad
Úhel ∠ B = β = 40° = 0,69881317008 rad
Úhel ∠ C = γ = 76,77877848466° = 76°46'40″ = 1,3440025138 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 87,6144126259
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 121,68662864708
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 80,34884512108
Těžnice: ta = 97,12439219575
Těžnice: tb = 122,78876468396
Těžnice: tc = 84,95879124732
Poloměr vepsané kružnice: r = 31,17546663644
Poloměr opsané kružnice: R = 70,00875722087
Souřadnice vrcholů: A[136,30333837907; 0] B[0; 0] C[95,75655553899; 80,34884512108]
Těžiště: T[77,35329797269; 26,78328170703]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[68,15216918953; 16,01327155211]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[85,65216918953; 31,17546663644]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 116,77877848466° = 116°46'40″ = 1,10334358148 rad
∠ B' = β' = 140° = 0,69881317008 rad
∠ C' = γ' = 103,22222151534° = 103°13'20″ = 1,3440025138 rad
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Kosinová věta
a=125 b=90 β=40° b2=a2+c2−2accosβ 902=1252+c2−2⋅ 125⋅ c⋅ cos40° c2−191,511c+7525=0 p=1;q=−191,511;r=7525 D=q2−4pr=191,5112−4⋅1⋅7525=6576,5055520916 D>0 c1,2=2p−q±D=2191,51±6576,51 c1,2=95,755555±40,547828 c1=136,303383791 c2=55,207726989 c>0 c=136,3
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
a=125 b=90 c=136,3
2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
3. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2351,3=175,65
4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 136,3902+136,32−1252)=63°13′20" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 125⋅ 136,31252+136,32−902)=40° γ=180°−α−β=180°−63°13′20"−40°=76°46′40"
7. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.8. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 31,175⋅ 175,652125⋅ 90⋅ 136,3=70,01
9. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 125
b = 90
c = 55,2087726989
Obsah trojúhelníku: S = 2217,92876792197
Obvod trojúhelníku: o = 270,2087726989
Semiperimeter (poloobvod): s = 135,10438634945
Úhel ∠ A = α = 116,77877848466° = 116°46'40″ = 2,03881568388 rad
Úhel ∠ B = β = 40° = 0,69881317008 rad
Úhel ∠ C = γ = 23,22222151534° = 23°13'20″ = 0,4055304114 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 35,48768428675
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 49,28772817604
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 80,34884512108
Těžnice: ta = 40,83774406599
Těžnice: tb = 85,50769971385
Těžnice: tc = 105,35990372022
Poloměr vepsané kružnice: r = 16,41664637624
Poloměr opsané kružnice: R = 70,00875722087
Souřadnice vrcholů: A[55,2087726989; 0] B[0; 0] C[95,75655553899; 80,34884512108]
Těžiště: T[50,32110941263; 26,78328170703]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[27,60438634945; 64,33657356897]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[45,10438634945; 16,41664637624]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 63,22222151534° = 63°13'20″ = 2,03881568388 rad
∠ B' = β' = 140° = 0,69881317008 rad
∠ C' = γ' = 156,77877848466° = 156°46'40″ = 0,4055304114 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Kosinová věta
a=125 b=90 β=40° b2=a2+c2−2accosβ 902=1252+c2−2⋅ 125⋅ c⋅ cos40° c2−191,511c+7525=0 p=1;q=−191,511;r=7525 D=q2−4pr=191,5112−4⋅1⋅7525=6576,5055520916 D>0 c1,2=2p−q±D=2191,51±6576,51 c1,2=95,755555±40,547828 c1=136,303383791 c2=55,207726989 c>0 c=136,3
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
a=125 b=90 c=55,21
2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
3. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2270,21=135,1
4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 55,21902+55,212−1252)=116°46′40" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 125⋅ 55,211252+55,212−902)=40° γ=180°−α−β=180°−116°46′40"−40°=23°13′20"
7. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.8. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 16,416⋅ 135,104125⋅ 90⋅ 55,21=70,01
9. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.Vypočítat další trojúhelník