Trojúhelník 128 39 101
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 128
b = 39
c = 101
Obsah trojúhelníku: S = 1587,62108615409
Obvod trojúhelníku: o = 268
Semiperimeter (poloobvod): s = 134
Úhel ∠ A = α = 126,28330378887° = 126°16'59″ = 2,20440548006 rad
Úhel ∠ B = β = 14,21878657683° = 14°13'4″ = 0,24881485703 rad
Úhel ∠ C = γ = 39,49990963429° = 39°29'57″ = 0,68993892827 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 24,80765759616
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 81,4166454438
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 31,43880368622
Těžnice: ta = 42,01219030752
Těžnice: tb = 113,63220817375
Těžnice: tc = 80,01440612643
Poloměr vepsané kružnice: r = 11,84879168772
Poloměr opsané kružnice: R = 79,39442704165
Souřadnice vrcholů: A[101; 0] B[0; 0] C[124,07992079208; 31,43880368622]
Těžiště: T[75,02664026403; 10,47993456207]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[50,5; 61,26333673165]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[95; 11,84879168772]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 53,71769621113° = 53°43'1″ = 2,20440548006 rad
∠ B' = β' = 165,78221342317° = 165°46'56″ = 0,24881485703 rad
∠ C' = γ' = 140,50109036571° = 140°30'3″ = 0,68993892827 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=128 b=39 c=101
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=128+39+101=268
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2268=134
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=134(134−128)(134−39)(134−101) S=2520540=1587,62
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1282⋅ 1587,62=24,81 vb=b2 S=392⋅ 1587,62=81,42 vc=c2 S=1012⋅ 1587,62=31,44
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 39⋅ 101392+1012−1282)=126°16′59" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 128⋅ 1011282+1012−392)=14°13′4" γ=180°−α−β=180°−126°16′59"−14°13′4"=39°29′57"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1341587,62=11,85
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 11,848⋅ 134128⋅ 39⋅ 101=79,39
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 392+2⋅ 1012−1282=42,012 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 1012+2⋅ 1282−392=113,632 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1282+2⋅ 392−1012=80,014
Vypočítat další trojúhelník