Trojúhelník 13 14 21
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 13
b = 14
c = 21
Obsah trojúhelníku: S = 88,99443818451
Obvod trojúhelníku: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24
Úhel ∠ A = α = 37,25879160013° = 37°15'29″ = 0,65502733067 rad
Úhel ∠ B = β = 40,69105605975° = 40°41'26″ = 0,71101842569 rad
Úhel ∠ C = γ = 102,05215234012° = 102°3'5″ = 1,781113509 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,69114433608
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 12,71334831207
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,47656554138
Těžnice: ta = 16,62107701386
Těžnice: tb = 16
Těžnice: tc = 8,5
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,70880992435
Poloměr opsané kružnice: R = 10,73766328097
Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[9,85771428571; 8,47656554138]
Těžiště: T[10,28657142857; 2,82552184713]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -2,24217145427]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 3,70880992435]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 142,74220839987° = 142°44'31″ = 0,65502733067 rad
∠ B' = β' = 139,30994394025° = 139°18'34″ = 0,71101842569 rad
∠ C' = γ' = 77,94884765988° = 77°56'55″ = 1,781113509 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=13 b=14 c=21
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=13+14+21=48
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=248=24
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24(24−13)(24−14)(24−21) S=7920=88,99
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 88,99=13,69 vb=b2 S=142⋅ 88,99=12,71 vc=c2 S=212⋅ 88,99=8,48
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 21142+212−132)=37°15′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 21132+212−142)=40°41′26" γ=180°−α−β=180°−37°15′29"−40°41′26"=102°3′5"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2488,99=3,71
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,708⋅ 2413⋅ 14⋅ 21=10,74
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 212−132=16,621 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 132−142=16 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−212=8,5
Vypočítat další trojúhelník