Trojúhelník 13 19 23
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 13
b = 19
c = 23
Obsah trojúhelníku: S = 123.54997469633
Obvod trojúhelníku: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5
Úhel ∠ A = α = 34,4177308278° = 34°25'2″ = 0,60106953491 rad
Úhel ∠ B = β = 55,69986751605° = 55°41'55″ = 0,97221252705 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,88440165615° = 89°53'2″ = 1,56987720339 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 198,9999610713
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 132,9999733646
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 10,73991084316
Těžnice: ta = 20,06986322404
Těžnice: tb = 16,08657079421
Těžnice: tc = 11,52217186218
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,49108998896
Poloměr opsané kružnice: R = 11.55000235622
Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[7,32660869565; 10,73991084316]
Těžiště: T[10,10986956522; 3,58797028105]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; 0,02332793999]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 4,49108998896]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,5832691722° = 145°34'58″ = 0,60106953491 rad
∠ B' = β' = 124,30113248395° = 124°18'5″ = 0,97221252705 rad
∠ C' = γ' = 90,11659834386° = 90°6'58″ = 1,56987720339 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=13 b=19 c=23
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=13+19+23=55
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=255=27,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27,5(27,5−13)(27,5−19)(27,5−23) S=15252,19=123,5
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 123,5=19 vb=b2 S=192⋅ 123,5=13 vc=c2 S=232⋅ 123,5=10,74
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 23192+232−132)=34°25′2" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 23132+232−192)=55°41′55" γ=180°−α−β=180°−34°25′2"−55°41′55"=89°53′2"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=27,5123,5=4,49
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,491⋅ 27,513⋅ 19⋅ 23=11,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 232−132=20,069 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 132−192=16,086 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 192−232=11,522
Vypočítat další trojúhelník