Trojúhelník 135 90 191.96

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 135
b = 90
c = 191,96

Obsah trojúhelníku: S = 5475,75988941782
Obvod trojúhelníku: o = 416,96
Semiperimeter (poloobvod): s = 208,48

Úhel ∠ A = α = 39,33884807562° = 39°20'19″ = 0,68765860119 rad
Úhel ∠ B = β = 24,99988646155° = 24°59'56″ = 0,43663124968 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,66326546283° = 115°39'46″ = 2,01986941449 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 81,12223539878
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 121,68435309817
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 57,05110407812

Těžnice: t_a = 133,8588398317
Těžnice: t_b = 159,72442022988
Těžnice: t_c = 62,85217271044

Poloměr vepsané kružnice: r = 26,2655152025
Poloměr opsané kružnice: R = 106,4843596387

Souřadnice vrcholů: A[191,96; 0] B[0; 0] C[122,35326818087; 57,05110407812]
Těžiště: T[104,77108939362; 19,01770135937]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[95,98; -46,11550289982]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[118,48; 26,2655152025]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,66215192438° = 140°39'41″ = 0,68765860119 rad
∠ B' = β' = 155,00111353845° = 155°4″ = 0,43663124968 rad
∠ C' = γ' = 64,33773453717° = 64°20'14″ = 2,01986941449 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 135 b = 90 c = 191, 96

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 135 + 90 + 191, 96 = 416, 96

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1 6 , 9 6}{2} = 208, 48

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 208, 48 (208, 48 - 135) (208, 48 - 90) (208, 48 - 191, 96) S = 29983935, 47 = 5475, 76

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 4 7 5 , 7 6}{1 3 5} = 81, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 4 7 5 , 7 6}{9 0} = 121, 68 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 4 7 5 , 7 6}{1 9 1 , 9 6} = 57, 05

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 9 1 , 9 6 ^{2} - 1 3 5 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 9 1 , 9 6}) = 39 ° 2 0^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 5 ^{2} + 1 9 1 , 9 6 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 3 5 \cdot 1 9 1 , 9 6}) = 24 ° 5 9^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 2 0^{'} 19 " - 24 ° 5 9^{'} 56 " = 115 ° 3 9^{'} 46 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 4 7 5 , 7 6}{2 0 8 , 4 8} = 26, 27

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 5 \cdot 9 0 \cdot 1 9 1 , 9 6}{4 \cdot 2 6 , 2 6 5 \cdot 2 0 8 , 4 8} = 106, 48

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 1 , 9 6 ^{2} - 1 3 5 ^{2}}{2} = 133, 858 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 1 , 9 6 ^{2} + 2 \cdot 1 3 5 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 159, 724 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 5 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 9 1 , 9 6 ^{2}}{2} = 62, 852

Vypočítat další trojúhelník