Trojúhelník 14 15 16
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 15
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 96,55879489219
Obvod trojúhelníku: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Úhel ∠ A = α = 53,57664263577° = 53°34'35″ = 0,93550850414 rad
Úhel ∠ B = β = 59,55659700416° = 59°33'21″ = 1,03994477664 rad
Úhel ∠ C = γ = 66,86876036007° = 66°52'3″ = 1,16770598458 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,79439927031
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 12,87443931896
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 12,07697436152
Těžnice: ta = 13,83883525031
Těžnice: tb = 13,02988142208
Těžnice: tc = 12,10437184369
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,29114643965
Poloměr opsané kružnice: R = 8,69994391387
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[7,094375; 12,07697436152]
Těžiště: T[7,69879166667; 4,02332478717]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; 3,41876368045]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 4,29114643965]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 126,42435736423° = 126°25'25″ = 0,93550850414 rad
∠ B' = β' = 120,44440299584° = 120°26'39″ = 1,03994477664 rad
∠ C' = γ' = 113,13223963993° = 113°7'57″ = 1,16770598458 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=15 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+15+16=45
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−14)(22,5−15)(22,5−16) S=9323,44=96,56
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 96,56=13,79 vb=b2 S=152⋅ 96,56=12,87 vc=c2 S=162⋅ 96,56=12,07
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 16152+162−142)=53°34′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 16142+162−152)=59°33′21" γ=180°−α−β=180°−53°34′35"−59°33′21"=66°52′3"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=22,596,56=4,29
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,291⋅ 22,514⋅ 15⋅ 16=8,7
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 162−142=13,838 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 142−152=13,029 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 152−162=12,104
Vypočítat další trojúhelník