Trojúhelník 14 17 18
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 17
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 111,98663272904
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Úhel ∠ A = α = 47,04990078078° = 47°2'56″ = 0,8211160096 rad
Úhel ∠ B = β = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,23106049282° = 70°13'50″ = 1,22657552917 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 15,99880467558
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 13,17548620342
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 12,44329252545
Těžnice: ta = 16,04768065359
Těžnice: tb = 13,7022189606
Těžnice: tc = 12,70882650271
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,57108705017
Poloměr opsané kružnice: R = 9,56436675111
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[6,41766666667; 12,44329252545]
Těžiště: T[8,13988888889; 4,14876417515]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; 3,23547698935]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 4,57108705017]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 132,95109921922° = 132°57'4″ = 0,8211160096 rad
∠ B' = β' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
∠ C' = γ' = 109,76993950718° = 109°46'10″ = 1,22657552917 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=17 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+17+18=49
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−14)(24,5−17)(24,5−18) S=12540,94=111,99
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 111,99=16 vb=b2 S=172⋅ 111,99=13,17 vc=c2 S=182⋅ 111,99=12,44
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 18172+182−142)=47°2′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 18142+182−172)=62°43′13" γ=180°−α−β=180°−47°2′56"−62°43′13"=70°13′50"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=24,5111,99=4,57
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,571⋅ 24,514⋅ 17⋅ 18=9,56
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 182−142=16,047 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 142−172=13,702 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 172−182=12,708
Vypočítat další trojúhelník