Trojúhelník 14 19 24
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 19
c = 24
Obsah trojúhelníku: S = 132,91551515065
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5
Úhel ∠ A = α = 35,65990876961° = 35°39'33″ = 0,62223684886 rad
Úhel ∠ B = β = 52,29441992062° = 52°17'39″ = 0,91327059558 rad
Úhel ∠ C = γ = 92,04767130977° = 92°2'48″ = 1,60765182092 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 18,98878787866
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 13,99110685796
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 11,07662626255
Těžnice: ta = 20,48216991483
Těžnice: tb = 17,19773835219
Těžnice: tc = 11,59774135047
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,66436895265
Poloměr opsané kružnice: R = 12,00876603902
Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[8,56325; 11,07662626255]
Těžiště: T[10,85441666667; 3,69220875418]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -0,42988450139]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 4,66436895265]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,34109123039° = 144°20'27″ = 0,62223684886 rad
∠ B' = β' = 127,70658007938° = 127°42'21″ = 0,91327059558 rad
∠ C' = γ' = 87,95332869023° = 87°57'12″ = 1,60765182092 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=19 c=24
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+19+24=57
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=257=28,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28,5(28,5−14)(28,5−19)(28,5−24) S=17666,44=132,92
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 132,92=18,99 vb=b2 S=192⋅ 132,92=13,99 vc=c2 S=242⋅ 132,92=11,08
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 24192+242−142)=35°39′33" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 24142+242−192)=52°17′39" γ=180°−α−β=180°−35°39′33"−52°17′39"=92°2′48"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=28,5132,92=4,66
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,664⋅ 28,514⋅ 19⋅ 24=12,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 242−142=20,482 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 142−192=17,197 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 192−242=11,597
Vypočítat další trojúhelník