Trojúhelník 14 27 28
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 27
c = 28
Obsah trojúhelníku: S = 185,6843702839
Obvod trojúhelníku: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5
Úhel ∠ A = α = 29,42112427193° = 29°25'16″ = 0,51334975555 rad
Úhel ∠ B = β = 71,32878183712° = 71°19'40″ = 1,24549052788 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,25109389095° = 79°15'3″ = 1,38331898193 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 26,52662432627
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 13,75443483584
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 13,26331216314
Těžnice: ta = 26,59988721565
Těžnice: tb = 17,54328047928
Těžnice: tc = 16,32548277173
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,38221363142
Poloměr opsané kružnice: R = 14,25500389617
Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[4,48221428571; 13,26331216314]
Těžiště: T[10,82773809524; 4,42110405438]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; 2,65877453619]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 5,38221363142]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,57987572807° = 150°34'44″ = 0,51334975555 rad
∠ B' = β' = 108,67221816288° = 108°40'20″ = 1,24549052788 rad
∠ C' = γ' = 100,74990610905° = 100°44'57″ = 1,38331898193 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=27 c=28
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+27+28=69
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=269=34,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34,5(34,5−14)(34,5−27)(34,5−28) S=34478,44=185,68
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 185,68=26,53 vb=b2 S=272⋅ 185,68=13,75 vc=c2 S=282⋅ 185,68=13,26
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 27⋅ 28272+282−142)=29°25′16" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 28142+282−272)=71°19′40" γ=180°−α−β=180°−29°25′16"−71°19′40"=79°15′3"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=34,5185,68=5,38
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,382⋅ 34,514⋅ 27⋅ 28=14,25
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 272+2⋅ 282−142=26,599 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 282+2⋅ 142−272=17,543 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 272−282=16,325
Vypočítat další trojúhelník