Trojúhelník 14 9.8 10.9
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 9,8
c = 10,9
Obsah trojúhelníku: S = 53,20216958729
Obvod trojúhelníku: o = 34,7
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,35
Úhel ∠ A = α = 84,93880654113° = 84°56'17″ = 1,48224489017 rad
Úhel ∠ B = β = 44,20883786468° = 44°12'30″ = 0,77215817644 rad
Úhel ∠ C = γ = 50,85435559419° = 50°51'13″ = 0,88875619875 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7.66002422676
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10,85774889536
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,76217790592
Těžnice: ta = 7,64436247946
Těžnice: tb = 11,55496753201
Těžnice: tc = 10,78550591097
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,06663801656
Poloměr opsané kružnice: R = 7,02774075641
Souřadnice vrcholů: A[10,9; 0] B[0; 0] C[10,03553211009; 9,76217790592]
Těžiště: T[6,9788440367; 3,25439263531]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,45; 4,43664351761]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,55; 3,06663801656]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 95,06219345887° = 95°3'43″ = 1,48224489017 rad
∠ B' = β' = 135,79216213532° = 135°47'30″ = 0,77215817644 rad
∠ C' = γ' = 129,14664440581° = 129°8'47″ = 0,88875619875 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=9,8 c=10,9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+9,8+10,9=34,7
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=234,7=17,35
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,35(17,35−14)(17,35−9,8)(17,35−10,9) S=2830,42=53,2
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 53,2=7,6 vb=b2 S=9,82⋅ 53,2=10,86 vc=c2 S=10,92⋅ 53,2=9,76
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9,8⋅ 10,99,82+10,92−142)=84°56′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 10,9142+10,92−9,82)=44°12′30" γ=180°−α−β=180°−84°56′17"−44°12′30"=50°51′13"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=17,3553,2=3,07
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,066⋅ 17,3514⋅ 9,8⋅ 10,9=7,03
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 9,82+2⋅ 10,92−142=7,644 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 10,92+2⋅ 142−9,82=11,55 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 9,82−10,92=10,785
Vypočítat další trojúhelník