Trojúhelník 140 140 197.99

Pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 140
b = 140
c = 197,99

Obsah trojúhelníku: S = 98009,9999999949
Obvod trojúhelníku: o = 477,99
Semiperimeter (poloobvod): s = 238,995

Úhel ∠ A = α = 454,9999706944° = 45° = 0,78553976519 rad
Úhel ∠ B = β = 454,9999706944° = 45° = 0,78553976519 rad
Úhel ∠ C = γ = 900,0000586112° = 90° = 1,57107973498 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 1409,9999999999
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1409,9999999999
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 98,99548987322

Těžnice: t_a = 156,52548224723
Těžnice: t_b = 156,52548224723
Těžnice: t_c = 98,99548987322

Poloměr vepsané kružnice: r = 41,00550419465
Poloměr opsané kružnice: R = 98,99550000001

Souřadnice vrcholů: A[197,99; 0] B[0; 0] C[98,995; 98,99548987322]
Těžiště: T[98,995; 32,99882995774]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[98,995; -00,0001012678]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[98,995; 41,00550419465]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 1355,0000293056° = 135° = 0,78553976519 rad
∠ B' = β' = 1355,0000293056° = 135° = 0,78553976519 rad
∠ C' = γ' = 909,9999413888° = 90° = 1,57107973498 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 140 b = 140 c = 197, 99

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 140 + 140 + 197, 99 = 477, 99

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7 7 , 9 9}{2} = 239

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 239 (239 - 140) (239 - 140) (239 - 197, 99) S = 96040000 = 9800

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 8 0 0}{1 4 0} = 140 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 8 0 0}{1 4 0} = 140 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 8 0 0}{1 9 7 , 9 9} = 98, 99

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 0 ^{2} + 1 9 7 , 9 9 ^{2} - 1 4 0 ^{2}}{2 \cdot 1 4 0 \cdot 1 9 7 , 9 9}) = 45 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 0 ^{2} + 1 9 7 , 9 9 ^{2} - 1 4 0 ^{2}}{2 \cdot 1 4 0 \cdot 1 9 7 , 9 9}) = 45 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° - 45 ° = 90 °

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 8 0 0}{2 3 9} = 41, 01

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 0 \cdot 1 4 0 \cdot 1 9 7 , 9 9}{4 \cdot 4 1 , 0 0 5 \cdot 2 3 8 , 9 9 5} = 99

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 7 , 9 9 ^{2} - 1 4 0 ^{2}}{2} = 156, 525 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 7 , 9 9 ^{2} + 2 \cdot 1 4 0 ^{2} - 1 4 0 ^{2}}{2} = 156, 525 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 0 ^{2} + 2 \cdot 1 4 0 ^{2} - 1 9 7 , 9 9 ^{2}}{2} = 98, 995

Vypočítat další trojúhelník