Trojúhelník 142 142 190
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 142
b = 142
c = 190
Obsah trojúhelníku: S = 10026,4398799494
Obvod trojúhelníku: o = 474
Semiperimeter (poloobvod): s = 237
Úhel ∠ A = α = 48,00989830931° = 48°32″ = 0,83879148255 rad
Úhel ∠ B = β = 48,00989830931° = 48°32″ = 0,83879148255 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,98220338138° = 83°58'55″ = 1,46657630026 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 141,21774478802
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 141,21774478802
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 105,54114610473
Těžnice: ta = 151,9577230825
Těžnice: tb = 151,9577230825
Těžnice: tc = 105,54114610473
Poloměr vepsané kružnice: r = 42,3065648943
Poloměr opsané kružnice: R = 95,52664395618
Souřadnice vrcholů: A[190; 0] B[0; 0] C[95; 105,54114610473]
Těžiště: T[95; 35,18804870158]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[95; 10,01550214855]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[95; 42,3065648943]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,99110169069° = 131°59'28″ = 0,83879148255 rad
∠ B' = β' = 131,99110169069° = 131°59'28″ = 0,83879148255 rad
∠ C' = γ' = 96,01879661862° = 96°1'5″ = 1,46657630026 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=142 b=142 c=190
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=142+142+190=474
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2474=237
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=237(237−142)(237−142)(237−190) S=100529475=10026,44
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1422⋅ 10026,44=141,22 vb=b2 S=1422⋅ 10026,44=141,22 vc=c2 S=1902⋅ 10026,44=105,54
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 142⋅ 1901422+1902−1422)=48°32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 142⋅ 1901422+1902−1422)=48°32" γ=180°−α−β=180°−48°32"−48°32"=83°58′55"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=23710026,44=42,31
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 42,306⋅ 237142⋅ 142⋅ 190=95,53
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 1422+2⋅ 1902−1422=151,957 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 1902+2⋅ 1422−1422=151,957 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1422+2⋅ 1422−1902=105,541
Vypočítat další trojúhelník