Trojúhelník 15 15 28.28

Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 15
c = 28,28

Obsah trojúhelníku: S = 70,78553540772
Obvod trojúhelníku: o = 58,28
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,14

Úhel ∠ A = α = 19,49656783159° = 19°29'44″ = 0,34402637765 rad
Úhel ∠ B = β = 19,49656783159° = 19°29'44″ = 0,34402637765 rad
Úhel ∠ C = γ = 141,00986433683° = 141°31″ = 2,46110651005 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,43880472103
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,43880472103
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,00660363562

Těžnice: t_a = 21,3577181462
Těžnice: t_b = 21,3577181462
Těžnice: t_c = 5,00660363562

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,42991473602
Poloměr opsané kružnice: R = 22,47328691512

Souřadnice vrcholů: A[28,28; 0] B[0; 0] C[14,14; 5,00660363562]
Těžiště: T[14,14; 1,66986787854]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,14; -17,4676832795]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14,14; 2,42991473602]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,50443216841° = 160°30'16″ = 0,34402637765 rad
∠ B' = β' = 160,50443216841° = 160°30'16″ = 0,34402637765 rad
∠ C' = γ' = 38,99113566317° = 38°59'29″ = 2,46110651005 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 15 c = 28, 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 15 + 28, 28 = 58, 28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8 , 2 8}{2} = 29, 14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 14 (29, 14 - 15) (29, 14 - 15) (29, 14 - 28, 28) S = 5010, 57 = 70, 79

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 0 , 7 9}{1 5} = 9, 44 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 0 , 7 9}{1 5} = 9, 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 0 , 7 9}{2 8 , 2 8} = 5, 01

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 8 , 2 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 8 , 2 8}) = 19 ° 2 9^{'} 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 8 , 2 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 8 , 2 8}) = 19 ° 2 9^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 2 9^{'} 44 " - 19 ° 2 9^{'} 44 " = 141 ° 31 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 0 , 7 9}{2 9 , 1 4} = 2, 43

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 5 \cdot 2 8 , 2 8}{4 \cdot 2 , 4 2 9 \cdot 2 9 , 1 4} = 22, 47

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 8 , 2 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 21, 357 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 , 2 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 21, 357 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 8 , 2 8 ^{2}}{2} = 5, 006

Vypočítat další trojúhelník