Trojúhelník 153 90 179.91

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 153
b = 90
c = 179,91

Obsah trojúhelníku: S = 6881,6533108677
Obvod trojúhelníku: o = 422,91
Semiperimeter (poloobvod): s = 211,455

Úhel ∠ A = α = 58,21329538663° = 58°12'47″ = 1,01660077123 rad
Úhel ∠ B = β = 300,0004595932° = 30°2″ = 0,5243606797 rad
Úhel ∠ C = γ = 91,78765865405° = 91°47'12″ = 1,60219781443 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 89,95662497866
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 152,92656246373
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 76,50110628501

Těžnice: t_a = 119,9233117246
Těžnice: t_b = 160,82107202135
Těžnice: t_c = 87,5366266627

Poloměr vepsané kružnice: r = 32,54442912614
Poloměr opsané kružnice: R = 89,99987496055

Souřadnice vrcholů: A[179,91; 0] B[0; 0] C[132,50112731366; 76,50110628501]
Těžiště: T[104,13770910455; 25.55003542834]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[89,955; -2,80658698403]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[121,455; 32,54442912614]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121,78770461337° = 121°47'13″ = 1,01660077123 rad
∠ B' = β' = 1509,9995404068° = 149°59'58″ = 0,5243606797 rad
∠ C' = γ' = 88,21334134595° = 88°12'48″ = 1,60219781443 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 153 b = 90 c = 179, 91

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 153 + 90 + 179, 91 = 422, 91

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 2 2 , 9 1}{2} = 211, 46

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 211, 46 (211, 46 - 153) (211, 46 - 90) (211, 46 - 179, 91) S = 47357149, 51 = 6881, 65

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 8 8 1 , 6 5}{1 5 3} = 89, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 8 8 1 , 6 5}{9 0} = 152, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 8 8 1 , 6 5}{1 7 9 , 9 1} = 76, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 7 9 , 9 1 ^{2} - 1 5 3 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 7 9 , 9 1}) = 58 ° 1 2^{'} 47 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 3 ^{2} + 1 7 9 , 9 1 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 3 \cdot 1 7 9 , 9 1}) = 30 ° 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 1 2^{'} 47 " - 30 ° 2 " = 91 ° 4 7^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 8 8 1 , 6 5}{2 1 1 , 4 6} = 32, 54

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 3 \cdot 9 0 \cdot 1 7 9 , 9 1}{4 \cdot 3 2 , 5 4 4 \cdot 2 1 1 , 4 5 5} = 90

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 7 9 , 9 1 ^{2} - 1 5 3 ^{2}}{2} = 119, 923 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 9 , 9 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 3 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 160, 821 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 3 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 7 9 , 9 1 ^{2}}{2} = 87, 536

Vypočítat další trojúhelník