Trojúhelník 158 315 453

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 158
b = 315
c = 453

Obsah trojúhelníku: S = 14456,7770040365
Obvod trojúhelníku: o = 926
Semiperimeter (poloobvod): s = 463

Úhel ∠ A = α = 11,69904899591° = 11°41'26″ = 0,2044037541 rad
Úhel ∠ B = β = 23,82664155017° = 23°49'35″ = 0,41658493995 rad
Úhel ∠ C = γ = 144,48330945393° = 144°28'59″ = 2,52217057132 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 182,99770891185
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 91,78990161293
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 63,82767992952

Těžnice: t_a = 382,06880567648
Těžnice: t_b = 300,4676720287
Těžnice: t_c = 103,88657545576

Poloměr vepsané kružnice: r = 31,22441253572
Poloměr opsané kružnice: R = 389,88332508411

Souřadnice vrcholů: A[453; 0] B[0; 0] C[144,53442163355; 63,82767992952]
Těžiště: T[199,17880721118; 21,27655997651]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[226,5; -317,34331884986]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[148; 31,22441253572]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,31095100409° = 168°18'34″ = 0,2044037541 rad
∠ B' = β' = 156,17435844983° = 156°10'25″ = 0,41658493995 rad
∠ C' = γ' = 35,51769054607° = 35°31'1″ = 2,52217057132 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 158 b = 315 c = 453

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 158 + 315 + 453 = 926

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{9 2 6}{2} = 463

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 463 (463 - 158) (463 - 315) (463 - 453) S = 208998200 = 14456, 77

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 4 5 6 , 7 7}{1 5 8} = 183 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 4 5 6 , 7 7}{3 1 5} = 91, 79 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 4 5 6 , 7 7}{4 5 3} = 63, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 1 5 ^{2} + 4 5 3 ^{2} - 1 5 8 ^{2}}{2 \cdot 3 1 5 \cdot 4 5 3}) = 11 ° 4 1^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 8 ^{2} + 4 5 3 ^{2} - 3 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 8 \cdot 4 5 3}) = 23 ° 4 9^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 11 ° 4 1^{'} 26 " - 23 ° 4 9^{'} 35 " = 144 ° 2 8^{'} 59 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 4 5 6 , 7 7}{4 6 3} = 31, 22

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 8 \cdot 3 1 5 \cdot 4 5 3}{4 \cdot 3 1 , 2 2 4 \cdot 4 6 3} = 389, 88

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 5 ^{2} + 2 \cdot 4 5 3 ^{2} - 1 5 8 ^{2}}{2} = 382, 068 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 5 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 8 ^{2} - 3 1 5 ^{2}}{2} = 300, 467 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 8 ^{2} + 2 \cdot 3 1 5 ^{2} - 4 5 3 ^{2}}{2} = 103, 886

Vypočítat další trojúhelník