Trojúhelník 16 25 30
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 16
b = 25
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 199,94435857936
Obvod trojúhelníku: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5
Úhel ∠ A = α = 32,22107635824° = 32°13'15″ = 0,5622358412 rad
Úhel ∠ B = β = 56,41883336947° = 56°25'6″ = 0,98546856815 rad
Úhel ∠ C = γ = 91,36109027229° = 91°21'39″ = 1,59545485601 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 24,99329482242
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 15,99554868635
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 13,33295723862
Těžnice: ta = 26,42991505728
Těžnice: tb = 20,53765527779
Těžnice: tc = 14,68799182559
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,63222136843
Poloměr opsané kružnice: R = 15,00442322593
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[8,85; 13,33295723862]
Těžiště: T[12,95; 4,44331907954]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -0,35663505162]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 5,63222136843]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,77992364176° = 147°46'45″ = 0,5622358412 rad
∠ B' = β' = 123,58216663053° = 123°34'54″ = 0,98546856815 rad
∠ C' = γ' = 88,63990972771° = 88°38'21″ = 1,59545485601 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=16 b=25 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=16+25+30=71
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=271=35,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35,5(35,5−16)(35,5−25)(35,5−30) S=39977,44=199,94
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=162⋅ 199,94=24,99 vb=b2 S=252⋅ 199,94=16 vc=c2 S=302⋅ 199,94=13,33
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 30252+302−162)=32°13′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 16⋅ 30162+302−252)=56°25′6" γ=180°−α−β=180°−32°13′15"−56°25′6"=91°21′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=35,5199,94=5,63
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,632⋅ 35,516⋅ 25⋅ 30=15
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 302−162=26,429 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 162−252=20,537 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 162+2⋅ 252−302=14,68
Vypočítat další trojúhelník