Trojúhelník 16 30 30
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 16
b = 30
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 231,30993167168
Obvod trojúhelníku: o = 76
Semiperimeter (poloobvod): s = 38
Úhel ∠ A = α = 30,93220199068° = 30°55'55″ = 0,54398655917 rad
Úhel ∠ B = β = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,3010863531 rad
Úhel ∠ C = γ = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,3010863531 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 28,91436645896
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 15,42106211145
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 15,42106211145
Těžnice: ta = 28,91436645896
Těžnice: tb = 18,78882942281
Těžnice: tc = 18,78882942281
Poloměr vepsané kružnice: r = 6,0877087282
Poloměr opsané kružnice: R = 15,5643575437
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[4,26766666667; 15,42106211145]
Těžiště: T[11,42222222222; 5,14402070382]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 4,15502867832]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 6,0877087282]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 149,06879800932° = 149°4'5″ = 0,54398655917 rad
∠ B' = β' = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,3010863531 rad
∠ C' = γ' = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,3010863531 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=16 b=30 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=16+30+30=76
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=276=38
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=38(38−16)(38−30)(38−30) S=53504=231,31
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=162⋅ 231,31=28,91 vb=b2 S=302⋅ 231,31=15,42 vc=c2 S=302⋅ 231,31=15,42
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 30⋅ 30302+302−162)=30°55′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 16⋅ 30162+302−302)=74°32′2" γ=180°−α−β=180°−30°55′55"−74°32′2"=74°32′2"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=38231,31=6,09
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 6,087⋅ 3816⋅ 30⋅ 30=15,56
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 302+2⋅ 302−162=28,914 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 162−302=18,788 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 162+2⋅ 302−302=18,788
Vypočítat další trojúhelník