Trojúhelník 17 18 25
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 17
b = 18
c = 25
Obsah trojúhelníku: S = 152,97105854078
Obvod trojúhelníku: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30
Úhel ∠ A = α = 42,83334280661° = 42°50' = 0,74875843497 rad
Úhel ∠ B = β = 46,04330532762° = 46°2'35″ = 0,80436028773 rad
Úhel ∠ C = γ = 91,12435186577° = 91°7'25″ = 1,59904054266 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 17,99765394597
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 16,9976731712
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 12,23876468326
Těžnice: ta = 20,05661711201
Těžnice: tb = 19,39107194297
Těžnice: tc = 12,25876506721
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,09990195136
Poloměr opsané kružnice: R = 12,50224036151
Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[11,8; 12,23876468326]
Těžiště: T[12,26766666667; 4,07992156109]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -0,24551451689]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12; 5,09990195136]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 137,16765719339° = 137°10' = 0,74875843497 rad
∠ B' = β' = 133,95769467238° = 133°57'25″ = 0,80436028773 rad
∠ C' = γ' = 88,87664813423° = 88°52'35″ = 1,59904054266 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=17 b=18 c=25
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=17+18+25=60
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=260=30
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30(30−17)(30−18)(30−25) S=23400=152,97
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=172⋅ 152,97=18 vb=b2 S=182⋅ 152,97=17 vc=c2 S=252⋅ 152,97=12,24
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 25182+252−172)=42°50′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 17⋅ 25172+252−182)=46°2′35" γ=180°−α−β=180°−42°50′−46°2′35"=91°7′25"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=30152,97=5,1
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,099⋅ 3017⋅ 18⋅ 25=12,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 252−172=20,056 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 172−182=19,391 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 172+2⋅ 182−252=12,258
Vypočítat další trojúhelník