Trojúhelník 18 20 30
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 18
b = 20
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 174,53993938342
Obvod trojúhelníku: o = 68
Semiperimeter (poloobvod): s = 34
Úhel ∠ A = α = 35,57771025511° = 35°34'38″ = 0,62109375778 rad
Úhel ∠ B = β = 40,274389294° = 40°16'26″ = 0,70329120344 rad
Úhel ∠ C = γ = 104,14990045089° = 104°8'56″ = 1,81877430414 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,39332659816
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 17,45439393834
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 11,63659595889
Těžnice: ta = 23,85437208838
Těžnice: tb = 22,6277416998
Těžnice: tc = 11,70546999107
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,13435115834
Poloměr opsané kružnice: R = 15,46992871374
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[13,73333333333; 11,63659595889]
Těžiště: T[14,57877777778; 3,87986531963]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -3,78113813002]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14; 5,13435115834]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,42328974489° = 144°25'22″ = 0,62109375778 rad
∠ B' = β' = 139,726610706° = 139°43'34″ = 0,70329120344 rad
∠ C' = γ' = 75,85109954911° = 75°51'4″ = 1,81877430414 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=18 b=20 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=18+20+30=68
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=268=34
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34(34−18)(34−20)(34−30) S=30464=174,54
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=182⋅ 174,54=19,39 vb=b2 S=202⋅ 174,54=17,45 vc=c2 S=302⋅ 174,54=11,64
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 30202+302−182)=35°34′38" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 18⋅ 30182+302−202)=40°16′26" γ=180°−α−β=180°−35°34′38"−40°16′26"=104°8′56"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=34174,54=5,13
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,134⋅ 3418⋅ 20⋅ 30=15,47
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 302−182=23,854 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 182−202=22,627 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 182+2⋅ 202−302=11,705
Vypočítat další trojúhelník