Trojúhelník 2 12 12
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 2
b = 12
c = 12
Obsah trojúhelníku: S = 11,95882607431
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13
Úhel ∠ A = α = 9,56603836944° = 9°33'37″ = 0,16768601732 rad
Úhel ∠ B = β = 85,22198081528° = 85°13'11″ = 1,48773662402 rad
Úhel ∠ C = γ = 85,22198081528° = 85°13'11″ = 1,48773662402 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,95882607431
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,99330434572
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,99330434572
Těžnice: ta = 11,95882607431
Těžnice: tb = 6,1644414003
Těžnice: tc = 6,1644414003
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,9219866211
Poloměr opsané kružnice: R = 6,02109424721
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[0,16766666667; 1,99330434572]
Těžiště: T[4,05655555556; 0,66443478191]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 0,5021745206]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1; 0,9219866211]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 170,44396163056° = 170°26'23″ = 0,16768601732 rad
∠ B' = β' = 94,78801918472° = 94°46'49″ = 1,48773662402 rad
∠ C' = γ' = 94,78801918472° = 94°46'49″ = 1,48773662402 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=12 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+12+12=26
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=226=13
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−2)(13−12)(13−12) S=143=11,96
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 11,96=11,96 vb=b2 S=122⋅ 11,96=1,99 vc=c2 S=122⋅ 11,96=1,99
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 12122+122−22)=9°33′37" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 1222+122−122)=85°13′11" γ=180°−α−β=180°−9°33′37"−85°13′11"=85°13′11"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1311,96=0,92
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,92⋅ 132⋅ 12⋅ 12=6,02
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 122−22=11,958 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 22−122=6,164 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 122−122=6,164
Vypočítat další trojúhelník