Trojúhelník 2 13 14
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 2
b = 13
c = 14
Obsah trojúhelníku: S = 11,65992238164
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Úhel ∠ A = α = 7,36111606635° = 7°21'40″ = 0,12884764903 rad
Úhel ∠ B = β = 56,38876254015° = 56°23'15″ = 0,98441497206 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,2511213935° = 116°15'4″ = 2,02989664426 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,65992238164
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,7943726741
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,66656034023
Těžnice: ta = 13,47221935853
Těžnice: tb = 7,59993420768
Těžnice: tc = 6,1243724357
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,80440844011
Poloměr opsané kružnice: R = 7,80549792536
Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[1,10771428571; 1,66656034023]
Těžiště: T[5,03657142857; 0,55552011341]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -3,45222023622]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,80440844011]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 172,63988393365° = 172°38'20″ = 0,12884764903 rad
∠ B' = β' = 123,61223745985° = 123°36'45″ = 0,98441497206 rad
∠ C' = γ' = 63,7498786065° = 63°44'56″ = 2,02989664426 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=13 c=14
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+13+14=29
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−2)(14,5−13)(14,5−14) S=135,94=11,66
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 11,66=11,66 vb=b2 S=132⋅ 11,66=1,79 vc=c2 S=142⋅ 11,66=1,67
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 14132+142−22)=7°21′40" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 1422+142−132)=56°23′15" γ=180°−α−β=180°−7°21′40"−56°23′15"=116°15′4"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=14,511,66=0,8
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,804⋅ 14,52⋅ 13⋅ 14=7,8
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 142−22=13,472 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 22−132=7,599 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 132−142=6,124
Vypočítat další trojúhelník