Trojúhelník 2 7 8
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 2
b = 7
c = 8
Obsah trojúhelníku: S = 6,43771965948
Obvod trojúhelníku: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5
Úhel ∠ A = α = 13,2911177243° = 13°17'28″ = 0,23219748044 rad
Úhel ∠ B = β = 53,57664263577° = 53°34'35″ = 0,93550850414 rad
Úhel ∠ C = γ = 113,13223963993° = 113°7'57″ = 1,97545328078 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 6,43771965948
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,83991990271
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,60992991487
Těžnice: ta = 7,45498322129
Těžnice: tb = 4,66436895265
Těžnice: tc = 3,24403703492
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,75773172464
Poloměr opsané kružnice: R = 4,35497195693
Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[1,18875; 1,60992991487]
Těžiště: T[3,06325; 0,53664330496]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; -1,70988184022]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,75773172464]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,7098822757° = 166°42'32″ = 0,23219748044 rad
∠ B' = β' = 126,42435736423° = 126°25'25″ = 0,93550850414 rad
∠ C' = γ' = 66,86876036007° = 66°52'3″ = 1,97545328078 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=7 c=8
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+7+8=17
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=217=8,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,5(8,5−2)(8,5−7)(8,5−8) S=41,44=6,44
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 6,44=6,44 vb=b2 S=72⋅ 6,44=1,84 vc=c2 S=82⋅ 6,44=1,61
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 872+82−22)=13°17′28" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 822+82−72)=53°34′35" γ=180°−α−β=180°−13°17′28"−53°34′35"=113°7′57"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=8,56,44=0,76
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,757⋅ 8,52⋅ 7⋅ 8=4,35
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 82−22=7,45 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 22−72=4,664 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 72−82=3,24
Vypočítat další trojúhelník