Trojúhelník 2 9 10
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 2
b = 9
c = 10
Obsah trojúhelníku: S = 8,1821534086
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5
Úhel ∠ A = α = 10,47553138432° = 10°28'31″ = 0,18328287167 rad
Úhel ∠ B = β = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 0,95881921787 rad
Úhel ∠ C = γ = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 2,00105717581 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,1821534086
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,81881186858
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,63663068172
Těžnice: ta = 9,46604439642
Těžnice: tb = 5,63547138348
Těžnice: tc = 4,18333001327
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,77991937225
Poloměr opsané kružnice: R = 5.55001909822
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[1,15; 1,63663068172]
Těžiště: T[3,71766666667; 0,54554356057]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -2,29217462426]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,77991937225]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,52546861568° = 169°31'29″ = 0,18328287167 rad
∠ B' = β' = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 0,95881921787 rad
∠ C' = γ' = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 2,00105717581 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=9 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+9+10=21
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=221=10,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−2)(10,5−9)(10,5−10) S=66,94=8,18
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 8,18=8,18 vb=b2 S=92⋅ 8,18=1,82 vc=c2 S=102⋅ 8,18=1,64
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−22)=10°28′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 1022+102−92)=54°54′1" γ=180°−α−β=180°−10°28′31"−54°54′1"=114°37′28"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=10,58,18=0,78
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,779⋅ 10,52⋅ 9⋅ 10=5,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 102−22=9,46 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 22−92=5,635 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 92−102=4,183
Vypočítat další trojúhelník