Trojúhelník 2.74 4 2

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 2,74
b = 4
c = 2

Obsah trojúhelníku: S = 2,49992491652
Obvod trojúhelníku: o = 8,74
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,37

Úhel ∠ A = α = 38,66884114611° = 38°40'6″ = 0,67548910965 rad
Úhel ∠ B = β = 114,19879570568° = 114°11'53″ = 1,99331303497 rad
Úhel ∠ C = γ = 27,13436314821° = 27°8'1″ = 0,47435712074 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 1,82442694637
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,25496245826
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,49992491652

Těžnice: t_a = 2,85501052612
Těžnice: t_b = 1,32443111417
Těžnice: t_c = 3,27992987055

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,57219105641
Poloměr opsané kružnice: R = 2,19326585297

Souřadnice vrcholů: A[2; 0] B[0; 0] C[-1,12331; 2,49992491652]
Těžiště: T[0,29223; 0,83330830551]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1; 1,95113460554]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,37; 0,57219105641]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,33215885389° = 141°19'54″ = 0,67548910965 rad
∠ B' = β' = 65,80220429432° = 65°48'7″ = 1,99331303497 rad
∠ C' = γ' = 152,86663685179° = 152°51'59″ = 0,47435712074 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2, 74 b = 4 c = 2

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2, 74 + 4 + 2 = 8, 74

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 , 7 4}{2} = 4, 37

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 4, 37 (4, 37 - 2, 74) (4, 37 - 4) (4, 37 - 2) S = 6, 25 = 2, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{2 , 7 4} = 1, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{4} = 1, 25 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{2} = 2, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 2 ^{2} - 2 , 7 4 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 2}) = 38 ° 4 0^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 , 7 4 ^{2} + 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 2 , 7 4 \cdot 2}) = 114 ° 1 1^{'} 53 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 4 0^{'} 6 " - 114 ° 1 1^{'} 53 " = 27 ° 8^{'} 1 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 5}{4 , 3 7} = 0, 57

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 , 7 4 \cdot 4 \cdot 2}{4 \cdot 0 , 5 7 2 \cdot 4 , 3 7} = 2, 19

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 2 , 7 4 ^{2}}{2} = 2, 85 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 2 , 7 4 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 1, 324 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 7 4 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 3, 279

Vypočítat další trojúhelník