Trojúhelník 200 190 13.31

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 200
b = 190
c = 13,31

Obsah trojúhelníku: S = 855,92769148207
Obvod trojúhelníku: o = 403,31
Semiperimeter (poloobvod): s = 201,655

Úhel ∠ A = α = 137,39768546074° = 137°23'49″ = 2,39880274948 rad
Úhel ∠ B = β = 40,02111663294° = 40°1'16″ = 0,69985011229 rad
Úhel ∠ C = γ = 2,58219790632° = 2°34'55″ = 0,04550640359 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,55992691482
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,01097569981
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 128,6144111919

Těžnice: t_a = 90,21440679163
Těžnice: t_b = 105,1843544578
Těžnice: t_c = 194,95105346876

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,24545112436
Poloměr opsané kružnice: R = 147,72987345573

Souřadnice vrcholů: A[13,31; 0] B[0; 0] C[153,16113861758; 128,6144111919]
Těžiště: T[55,49904620586; 42,87113706397]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,655; 147,57987585966]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,655; 4,24545112436]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 42,60331453926° = 42°36'11″ = 2,39880274948 rad
∠ B' = β' = 139,97988336706° = 139°58'44″ = 0,69985011229 rad
∠ C' = γ' = 177,41880209368° = 177°25'5″ = 0,04550640359 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 200 b = 190 c = 13, 31

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 200 + 190 + 13, 31 = 403, 31

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0 3 , 3 1}{2} = 201, 66

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 201, 66 (201, 66 - 200) (201, 66 - 190) (201, 66 - 13, 31) S = 732610, 88 = 855, 93

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 5 5 , 9 3}{2 0 0} = 8, 56 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 5 5 , 9 3}{1 9 0} = 9, 01 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 5 5 , 9 3}{1 3 , 3 1} = 128, 61

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 0 ^{2} + 1 3 , 3 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2 \cdot 1 9 0 \cdot 1 3 , 3 1}) = 137 ° 2 3^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 0 ^{2} + 1 3 , 3 1 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 0 \cdot 1 3 , 3 1}) = 40 ° 1^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 137 ° 2 3^{'} 49 " - 40 ° 1^{'} 16 " = 2 ° 3 4^{'} 55 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 5 5 , 9 3}{2 0 1 , 6 6} = 4, 24

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 0 \cdot 1 9 0 \cdot 1 3 , 3 1}{4 \cdot 4 , 2 4 5 \cdot 2 0 1 , 6 5 5} = 147, 73

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 , 3 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2} = 90, 214 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 1 ^{2} + 2 \cdot 2 0 0 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2} = 105, 184 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 0 ^{2} - 1 3 , 3 1 ^{2}}{2} = 194, 951

Vypočítat další trojúhelník