Trojúhelník 21 21 27
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 21
b = 21
c = 27
Obsah trojúhelníku: S = 217,1577057219
Obvod trojúhelníku: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5
Úhel ∠ A = α = 49,99547991151° = 49°59'41″ = 0,87325738534 rad
Úhel ∠ B = β = 49,99547991151° = 49°59'41″ = 0,87325738534 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,01104017697° = 80°37″ = 1,39664449467 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 20,6821624497
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 20,6821624497
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 16,08657079421
Těžnice: ta = 21,78987585695
Těžnice: tb = 21,78987585695
Těžnice: tc = 16,08657079421
Poloměr vepsané kružnice: r = 6,29444074556
Poloměr opsané kružnice: R = 13,70878206811
Souřadnice vrcholů: A[27; 0] B[0; 0] C[13,5; 16,08657079421]
Těžiště: T[13,5; 5,36219026474]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,5; 2,3787887261]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13,5; 6,29444074556]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,00552008849° = 130°19″ = 0,87325738534 rad
∠ B' = β' = 130,00552008849° = 130°19″ = 0,87325738534 rad
∠ C' = γ' = 99,99895982303° = 99°59'23″ = 1,39664449467 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=21 b=21 c=27
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=21+21+27=69
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=269=34,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=34,5(34,5−21)(34,5−21)(34,5−27) S=47157,19=217,16
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=212⋅ 217,16=20,68 vb=b2 S=212⋅ 217,16=20,68 vc=c2 S=272⋅ 217,16=16,09
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 27212+272−212)=49°59′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 21⋅ 27212+272−212)=49°59′41" γ=180°−α−β=180°−49°59′41"−49°59′41"=80°37"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=34,5217,16=6,29
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 6,294⋅ 34,521⋅ 21⋅ 27=13,71
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 272−212=21,789 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 272+2⋅ 212−212=21,789 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 212+2⋅ 212−272=16,086
Vypočítat další trojúhelník