Trojúhelník 22 26 30
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 22
b = 26
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 278,51657087132
Obvod trojúhelníku: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39
Úhel ∠ A = α = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Úhel ∠ B = β = 57,56435627878° = 57°33'49″ = 1,00546736998 rad
Úhel ∠ C = γ = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1,34215201236 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 25,3219609883
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 21,42442852856
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 18,56877139142
Těžnice: ta = 25,82663431403
Těžnice: tb = 22,86991932521
Těžnice: tc = 18,84114436814
Poloměr vepsané kružnice: r = 7,14114284285
Poloměr opsané kružnice: R = 15,40330809243
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[11,8; 18,56877139142]
Těžiště: T[13,93333333333; 6,18992379714]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 3,50107002101]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[13; 7,14114284285]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ B' = β' = 122,43664372123° = 122°26'11″ = 1,00546736998 rad
∠ C' = γ' = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1,34215201236 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=22 b=26 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=22+26+30=78
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=278=39
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=39(39−22)(39−26)(39−30) S=77571=278,52
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=222⋅ 278,52=25,32 vb=b2 S=262⋅ 278,52=21,42 vc=c2 S=302⋅ 278,52=18,57
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 26⋅ 30262+302−222)=45°34′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 22⋅ 30222+302−262)=57°33′49" γ=180°−α−β=180°−45°34′23"−57°33′49"=76°51′48"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=39278,52=7,14
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 7,141⋅ 3922⋅ 26⋅ 30=15,4
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 262+2⋅ 302−222=25,826 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 222−262=22,869 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 222+2⋅ 262−302=18,841
Vypočítat další trojúhelník