Trojúhelník 22 26 40
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 22
b = 26
c = 40
Obsah trojúhelníku: S = 264
Obvod trojúhelníku: o = 88
Semiperimeter (poloobvod): s = 44
Úhel ∠ A = α = 30,51102374061° = 30°30'37″ = 0,53325040983 rad
Úhel ∠ B = β = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Úhel ∠ C = γ = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,96655874465 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 24
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 20,30876923077
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 13,2
Těžnice: ta = 31,89904374382
Těžnice: tb = 29,54765734054
Těžnice: tc = 13,4166407865
Poloměr vepsané kružnice: r = 6
Poloměr opsané kružnice: R = 21,66766666667
Souřadnice vrcholů: A[40; 0] B[0; 0] C[17,6; 13,2]
Těžiště: T[19,2; 4,4]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[20; -8,33333333333]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[18; 6]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 149,49897625939° = 149°29'23″ = 0,53325040983 rad
∠ B' = β' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ C' = γ' = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,96655874465 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=22 b=26 c=40
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=22+26+40=88
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=288=44
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=44(44−22)(44−26)(44−40) S=69696=264
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=222⋅ 264=24 vb=b2 S=262⋅ 264=20,31 vc=c2 S=402⋅ 264=13,2
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 26⋅ 40262+402−222)=30°30′37" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 22⋅ 40222+402−262)=36°52′12" γ=180°−α−β=180°−30°30′37"−36°52′12"=112°37′11"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=44264=6
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 6⋅ 4422⋅ 26⋅ 40=21,67
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 262+2⋅ 402−222=31,89 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 402+2⋅ 222−262=29,547 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 222+2⋅ 262−402=13,416
Vypočítat další trojúhelník