Trojúhelník 23.1 23.1 37.8
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 23,1
b = 23,1
c = 37,8
Obsah trojúhelníku: S = 251,02216006642
Obvod trojúhelníku: o = 84
Semiperimeter (poloobvod): s = 42
Úhel ∠ A = α = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Úhel ∠ B = β = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Úhel ∠ C = γ = 109,80663975448° = 109°48'23″ = 1,91664831769 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 21,7333471919
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 21,7333471919
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 13,28215661727
Těžnice: ta = 29,11773917101
Těžnice: tb = 29,11773917101
Těžnice: tc = 13,28215661727
Poloměr vepsané kružnice: r = 5,97767047777
Poloměr opsané kružnice: R = 20,08883688362
Souřadnice vrcholů: A[37,8; 0] B[0; 0] C[18,9; 13,28215661727]
Těžiště: T[18,9; 4,42771887242]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[18,9; -6,80768026635]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[18,9; 5,97767047777]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ B' = β' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ C' = γ' = 70,19436024552° = 70°11'37″ = 1,91664831769 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=23,1 b=23,1 c=37,8
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=23,1+23,1+37,8=84
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=284=42
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=42(42−23,1)(42−23,1)(42−37,8) S=63011,84=251,02
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=23,12⋅ 251,02=21,73 vb=b2 S=23,12⋅ 251,02=21,73 vc=c2 S=37,82⋅ 251,02=13,28
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 23,1⋅ 37,823,12+37,82−23,12)=35°5′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 23,1⋅ 37,823,12+37,82−23,12)=35°5′48" γ=180°−α−β=180°−35°5′48"−35°5′48"=109°48′23"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=42251,02=5,98
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 5,977⋅ 4223,1⋅ 23,1⋅ 37,8=20,09
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 23,12+2⋅ 37,82−23,12=29,117 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 37,82+2⋅ 23,12−23,12=29,117 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 23,12+2⋅ 23,12−37,82=13,282
Vypočítat další trojúhelník