Trojúhelník 3 10 12
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 3
b = 10
c = 12
Obsah trojúhelníku: S = 12,1833492931
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 11,71658523949° = 11°42'57″ = 0,2044480199 rad
Úhel ∠ B = β = 42,59988128925° = 42°35'56″ = 0,74334895424 rad
Úhel ∠ C = γ = 125,68553347127° = 125°41'7″ = 2,19436229122 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,12223286207
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,43766985862
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,03105821552
Těžnice: ta = 10,94330343141
Těžnice: tb = 7,17663500472
Těžnice: tc = 4,30111626335
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,97546794345
Poloměr opsané kružnice: R = 7,3877044135
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[2,20883333333; 2,03105821552]
Těžiště: T[4,73661111111; 0,67768607184]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -4,30991090788]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,97546794345]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,28441476051° = 168°17'3″ = 0,2044480199 rad
∠ B' = β' = 137,40111871075° = 137°24'4″ = 0,74334895424 rad
∠ C' = γ' = 54,31546652873° = 54°18'53″ = 2,19436229122 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=10 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+10+12=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−3)(12,5−10)(12,5−12) S=148,44=12,18
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 12,18=8,12 vb=b2 S=102⋅ 12,18=2,44 vc=c2 S=122⋅ 12,18=2,03
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 12102+122−32)=11°42′57" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 1232+122−102)=42°35′56" γ=180°−α−β=180°−11°42′57"−42°35′56"=125°41′7"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,512,18=0,97
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,975⋅ 12,53⋅ 10⋅ 12=7,39
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 122−32=10,943 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 32−102=7,176 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 102−122=4,301
Vypočítat další trojúhelník