Trojúhelník 3 12 14

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 12
c = 14

Obsah trojúhelníku: S = 14,4377364718
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 9,89767597741° = 9°53'48″ = 0,17327310433 rad
Úhel ∠ B = β = 43,43220282875° = 43°25'55″ = 0,75880318944 rad
Úhel ∠ C = γ = 126,67112119384° = 126°40'16″ = 2,21108297158 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,6254909812
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,4066227453
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,0622480674

Těžnice: t_a = 12,9521833847
Těžnice: t_b = 8,15547532152
Těžnice: t_c = 5,24440442409

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,99656803254
Poloměr opsané kružnice: R = 8,72773545042

Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[2,17985714286; 2,0622480674]
Těžiště: T[5,39328571429; 0,6877493558]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -5,21221700511]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,99656803254]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 170,10332402259° = 170°6'12″ = 0,17327310433 rad
∠ B' = β' = 136,56879717125° = 136°34'5″ = 0,75880318944 rad
∠ C' = γ' = 53,32987880616° = 53°19'44″ = 2,21108297158 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 12 c = 14

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 12 + 14 = 29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 3) (14, 5 - 12) (14, 5 - 14) S = 208, 44 = 14, 44

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 4 4}{3} = 9, 62 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 4 4}{1 2} = 2, 41 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 4 4}{1 4} = 2, 06

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 4 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 4}) = 9 ° 5 3^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 4}) = 43 ° 2 5^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 9 ° 5 3^{'} 48 " - 43 ° 2 5^{'} 55 " = 126 ° 4 0^{'} 16 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 4 4}{1 4 , 5} = 1

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 2 \cdot 1 4}{4 \cdot 0 , 9 9 6 \cdot 1 4 , 5} = 8, 73

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 12, 952 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 8, 155 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 5, 244

Vypočítat další trojúhelník