Trojúhelník 3 20 21
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 3
b = 20
c = 21
Obsah trojúhelníku: S = 28,91436645896
Obvod trojúhelníku: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Úhel ∠ A = α = 7,91438581623° = 7°54'50″ = 0,13881228815 rad
Úhel ∠ B = β = 66,62201318843° = 66°37'12″ = 1,16327406495 rad
Úhel ∠ C = γ = 105,46660099534° = 105°27'58″ = 1,84107291226 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,27657763931
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,8911366459
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,75436823419
Těžnice: ta = 20,45111613362
Těžnice: tb = 11,18803398875
Těžnice: tc = 9,70882439195
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,31442574813
Poloměr opsané kružnice: R = 10,89545028059
Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[1,19904761905; 2,75436823419]
Těžiště: T[7,39768253968; 0,9187894114]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -2,90552007482]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,31442574813]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 172,08661418377° = 172°5'10″ = 0,13881228815 rad
∠ B' = β' = 113,38798681157° = 113°22'48″ = 1,16327406495 rad
∠ C' = γ' = 74,53439900466° = 74°32'2″ = 1,84107291226 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=20 c=21
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+20+21=44
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−3)(22−20)(22−21) S=836=28,91
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 28,91=19,28 vb=b2 S=202⋅ 28,91=2,89 vc=c2 S=212⋅ 28,91=2,75
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 21202+212−32)=7°54′50" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 2132+212−202)=66°37′12" γ=180°−α−β=180°−7°54′50"−66°37′12"=105°27′58"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2228,91=1,31
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,314⋅ 223⋅ 20⋅ 21=10,89
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 212−32=20,451 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 32−202=11,18 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 202−212=9,708
Vypočítat další trojúhelník