Trojúhelník 3 3 4
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 3
b = 3
c = 4
Obsah trojúhelníku: S = 4,4722135955
Obvod trojúhelníku: o = 10
Semiperimeter (poloobvod): s = 5
Úhel ∠ A = α = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Úhel ∠ B = β = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,45994553125 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 2,981142397
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,981142397
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,23660679775
Těžnice: ta = 3,20215621187
Těžnice: tb = 3,20215621187
Těžnice: tc = 2,23660679775
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,8944427191
Poloměr opsané kružnice: R = 2,01224611797
Souřadnice vrcholů: A[4; 0] B[0; 0] C[2; 2,23660679775]
Těžiště: T[2; 0,74553559925]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2; 0,22436067977]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 0,8944427191]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ B' = β' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ C' = γ' = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,45994553125 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=3 c=4
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+3+4=10
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=210=5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=5(5−3)(5−3)(5−4) S=20=4,47
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 4,47=2,98 vb=b2 S=32⋅ 4,47=2,98 vc=c2 S=42⋅ 4,47=2,24
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 3⋅ 432+42−32)=48°11′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 432+42−32)=48°11′23" γ=180°−α−β=180°−48°11′23"−48°11′23"=83°37′14"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=54,47=0,89
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,894⋅ 53⋅ 3⋅ 4=2,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 32+2⋅ 42−32=3,202 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 42+2⋅ 32−32=3,202 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 32−42=2,236
Vypočítat další trojúhelník