Trojúhelník 3 6 7.57
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 3
b = 6
c = 7,57
Obsah trojúhelníku: S = 8,45879453622
Obvod trojúhelníku: o = 16,57
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,285
Úhel ∠ A = α = 21,86657232273° = 21°51'57″ = 0,38216288636 rad
Úhel ∠ B = β = 48,14875296217° = 48°8'51″ = 0,84403329186 rad
Úhel ∠ C = γ = 109,9876747151° = 109°59'12″ = 1,92196308713 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,63986302414
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,81993151207
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,23545958685
Těžnice: ta = 6,6643516339
Těžnice: tb = 4,91545142181
Těžnice: tc = 2,8598981462
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,02108745157
Poloměr opsané kružnice: R = 4,02875739014
Souřadnice vrcholů: A[7,57; 0] B[0; 0] C[2,00216446499; 2,23545958685]
Těžiště: T[3,19105482166; 0,74548652895]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,785; -1,37766359472]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,285; 1,02108745157]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,13442767728° = 158°8'3″ = 0,38216288636 rad
∠ B' = β' = 131,85224703783° = 131°51'9″ = 0,84403329186 rad
∠ C' = γ' = 70,0133252849° = 70°48″ = 1,92196308713 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=6 c=7,57
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+6+7,57=16,57
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=216,57=8,29
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,29(8,29−3)(8,29−6)(8,29−7,57) S=71,54=8,46
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 8,46=5,64 vb=b2 S=62⋅ 8,46=2,82 vc=c2 S=7,572⋅ 8,46=2,23
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 7,5762+7,572−32)=21°51′57" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 7,5732+7,572−62)=48°8′51" γ=180°−α−β=180°−21°51′57"−48°8′51"=109°59′12"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=8,298,46=1,02
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,021⋅ 8,2853⋅ 6⋅ 7,57=4,03
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 7,572−32=6,664 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 7,572+2⋅ 32−62=4,915 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 62−7,572=2,859
Vypočítat další trojúhelník