Trojúhelník 4 11 11
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 11
c = 11
Obsah trojúhelníku: S = 21,63333076528
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13
Úhel ∠ A = α = 20,95113633928° = 20°57'5″ = 0,3665670274 rad
Úhel ∠ B = β = 79,52443183036° = 79°31'28″ = 1,38879611898 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,52443183036° = 79°31'28″ = 1,38879611898 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,81766538264
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,93333286641
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,93333286641
Těžnice: ta = 10,81766538264
Těžnice: tb = 6,18546584384
Těžnice: tc = 6,18546584384
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,66441005887
Poloměr opsané kružnice: R = 5,59332269786
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[0,72772727273; 3,93333286641]
Těžiště: T[3,90990909091; 1,31111095547]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 1,01769503597]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,66441005887]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,04986366072° = 159°2'55″ = 0,3665670274 rad
∠ B' = β' = 100,47656816964° = 100°28'32″ = 1,38879611898 rad
∠ C' = γ' = 100,47656816964° = 100°28'32″ = 1,38879611898 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=11 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+11+11=26
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=226=13
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−4)(13−11)(13−11) S=468=21,63
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 21,63=10,82 vb=b2 S=112⋅ 21,63=3,93 vc=c2 S=112⋅ 21,63=3,93
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−42)=20°57′5" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1142+112−112)=79°31′28" γ=180°−α−β=180°−20°57′5"−79°31′28"=79°31′28"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1321,63=1,66
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,664⋅ 134⋅ 11⋅ 11=5,59
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−42=10,817 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 42−112=6,185 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 112−112=6,185
Vypočítat další trojúhelník