Trojúhelník 4 20 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 20
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 36,20877339805
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Úhel ∠ A = α = 9,47328720666° = 9°28'22″ = 0,16553328072 rad
Úhel ∠ B = β = 55,37664645208° = 55°22'35″ = 0,9676501634 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,15106634125° = 115°9'2″ = 2,01097582124 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 18,10438669902
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,6210773398
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,292161218

Těžnice: t_a = 20,92884495365
Těžnice: t_b = 12,24774487139
Těžnice: t_c = 9,32773790531

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,57442493035
Poloměr opsané kružnice: R = 12,15220998867

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[2,27327272727; 3,292161218]
Těžiště: T[8,09109090909; 1,097720406]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -5,16546424518]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,57442493035]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 170,52771279334° = 170°31'38″ = 0,16553328072 rad
∠ B' = β' = 124,62435354792° = 124°37'25″ = 0,9676501634 rad
∠ C' = γ' = 64,84993365875° = 64°50'58″ = 2,01097582124 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 20 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 20 + 22 = 46

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 4) (23 - 20) (23 - 22) S = 1311 = 36, 21

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 1}{4} = 18, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 1}{2 0} = 3, 62 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 1}{2 2} = 3, 29

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 2}) = 9 ° 2 8^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 2 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 2 2}) = 55 ° 2 2^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 9 ° 2 8^{'} 22 " - 55 ° 2 2^{'} 35 " = 115 ° 9^{'} 2 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6 , 2 1}{2 3} = 1, 57

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 2 0 \cdot 2 2}{4 \cdot 1 , 5 7 4 \cdot 2 3} = 12, 15

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 20, 928 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 12, 247 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 9, 327

Vypočítat další trojúhelník