Trojúhelník 4 28 30
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 28
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 50,11098792655
Obvod trojúhelníku: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31
Úhel ∠ A = α = 6,8522238335° = 6°51'8″ = 0,12195941201 rad
Úhel ∠ B = β = 56,63329870308° = 56°37'59″ = 0,98884320889 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,51547746343° = 116°30'53″ = 2,03435664446 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 25,05549396327
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,57992770904
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,34106586177
Těžnice: ta = 28,94882296523
Těžnice: tb = 16,18664140562
Těžnice: tc = 13,22987565553
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,61664477182
Poloměr opsané kružnice: R = 16,76331615225
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[2,2; 3,34106586177]
Těžiště: T[10,73333333333; 1,11435528726]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -7,48435542511]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,61664477182]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 173,1487761665° = 173°8'52″ = 0,12195941201 rad
∠ B' = β' = 123,36770129692° = 123°22'1″ = 0,98884320889 rad
∠ C' = γ' = 63,48552253657° = 63°29'7″ = 2,03435664446 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=28 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+28+30=62
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=262=31
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31(31−4)(31−28)(31−30) S=2511=50,11
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 50,11=25,05 vb=b2 S=282⋅ 50,11=3,58 vc=c2 S=302⋅ 50,11=3,34
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 28⋅ 30282+302−42)=6°51′8" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 3042+302−282)=56°37′59" γ=180°−α−β=180°−6°51′8"−56°37′59"=116°30′53"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=3150,11=1,62
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,616⋅ 314⋅ 28⋅ 30=16,76
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 282+2⋅ 302−42=28,948 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 42−282=16,186 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 282−302=13,229
Vypočítat další trojúhelník