Trojúhelník 4 5 6
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 5
c = 6
Obsah trojúhelníku: S = 9,92215674165
Obvod trojúhelníku: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5
Úhel ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ B = β = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 4,96107837082
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,96986269666
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,30771891388
Těžnice: ta = 5,14878150705
Těžnice: tb = 4,44440972087
Těžnice: tc = 3,39111649916
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,32328756555
Poloměr opsané kružnice: R = 3,02437157841
Souřadnice vrcholů: A[6; 0] B[0; 0] C[2,25; 3,30771891388]
Těžiště: T[2,75; 1,10223963796]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3; 0,3787964473]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,32328756555]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ C' = γ' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=5 c=6
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+5+6=15
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=215=7,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7,5(7,5−4)(7,5−5)(7,5−6) S=98,44=9,92
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 9,92=4,96 vb=b2 S=52⋅ 9,92=3,97 vc=c2 S=62⋅ 9,92=3,31
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 652+62−42)=41°24′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 642+62−52)=55°46′16" γ=180°−α−β=180°−41°24′35"−55°46′16"=82°49′9"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=7,59,92=1,32
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,323⋅ 7,54⋅ 5⋅ 6=3,02
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 62−42=5,148 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 62+2⋅ 42−52=4,444 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 52−62=3,391
Vypočítat další trojúhelník