Trojúhelník 4 6 8
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 6
c = 8
Obsah trojúhelníku: S = 11,61989500386
Obvod trojúhelníku: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9
Úhel ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ B = β = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 0,81327555614 rad
Úhel ∠ C = γ = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,82334765819 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,80994750193
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,87329833462
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,90547375097
Těžnice: ta = 6,78223299831
Těžnice: tb = 5,56877643628
Těžnice: tc = 3,16222776602
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,29109944487
Poloměr opsané kružnice: R = 4,1311182236
Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[2,75; 2,90547375097]
Těžiště: T[3,58333333333; 0,96882458366]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; -1,0332795559]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,29109944487]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 0,81327555614 rad
∠ C' = γ' = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,82334765819 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=6 c=8
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+6+8=18
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=218=9
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9(9−4)(9−6)(9−8) S=135=11,62
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 11,62=5,81 vb=b2 S=62⋅ 11,62=3,87 vc=c2 S=82⋅ 11,62=2,9
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 862+82−42)=28°57′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 842+82−62)=46°34′3" γ=180°−α−β=180°−28°57′18"−46°34′3"=104°28′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=911,62=1,29
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,291⋅ 94⋅ 6⋅ 8=4,13
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 82−42=6,782 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 42−62=5,568 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 62−82=3,162
Vypočítat další trojúhelník