Trojúhelník 4 9 12
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 9
c = 12
Obsah trojúhelníku: S = 13,63658901433
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 14,62664748646° = 14°37'35″ = 0,25552801443 rad
Úhel ∠ B = β = 34,62221618397° = 34°37'20″ = 0,60442707183 rad
Úhel ∠ C = γ = 130,75113632957° = 130°45'5″ = 2,2822041791 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 6,81879450716
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,03301978096
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,27326483572
Těžnice: ta = 10,4166333328
Těžnice: tb = 7,73298124169
Těžnice: tc = 3,53655339059
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,09108712115
Poloměr opsané kružnice: R = 7,92202750143
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[3,29216666667; 2,27326483572]
Těžiště: T[5,09772222222; 0,75875494524]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -5,17701795232]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,09108712115]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,37435251354° = 165°22'25″ = 0,25552801443 rad
∠ B' = β' = 145,37878381603° = 145°22'40″ = 0,60442707183 rad
∠ C' = γ' = 49,24986367043° = 49°14'55″ = 2,2822041791 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=9 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+9+12=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−4)(12,5−9)(12,5−12) S=185,94=13,64
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 13,64=6,82 vb=b2 S=92⋅ 13,64=3,03 vc=c2 S=122⋅ 13,64=2,27
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1292+122−42)=14°37′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1242+122−92)=34°37′20" γ=180°−α−β=180°−14°37′35"−34°37′20"=130°45′5"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,513,64=1,09
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,091⋅ 12,54⋅ 9⋅ 12=7,92
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 122−42=10,416 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 42−92=7,73 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 92−122=3,536
Vypočítat další trojúhelník