Trojúhelník 4 9.9 10.68
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4
b = 9,9
c = 10,68
Obsah trojúhelníku: S = 19.87999956664
Obvod trojúhelníku: o = 24,58
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,29
Úhel ∠ A = α = 21,99553752897° = 21°59'43″ = 0,3843891719 rad
Úhel ∠ B = β = 67,96767168938° = 67°58' = 1,18662429916 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,03879078165° = 90°2'16″ = 1,5711457943 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9.98999978332
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 43,9999991245
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,7087864357
Těžnice: ta = 10,10112969464
Těžnice: tb = 6,36662155163
Těžnice: tc = 5,33875462527
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,61110655546
Poloměr opsané kružnice: R = 5,34400011688
Souřadnice vrcholů: A[10,68; 0] B[0; 0] C[1,50105805243; 3,7087864357]
Těžiště: T[4,06601935081; 1,23659547857]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,34; -0,00435330311]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,39; 1,61110655546]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,00546247103° = 158°17″ = 0,3843891719 rad
∠ B' = β' = 112,03332831062° = 112°2' = 1,18662429916 rad
∠ C' = γ' = 89,96220921835° = 89°57'44″ = 1,5711457943 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=9,9 c=10,68
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+9,9+10,68=24,58
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=224,58=12,29
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,29(12,29−4)(12,29−9,9)(12,29−10,68) S=392,04=19,8
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 19,8=9,9 vb=b2 S=9,92⋅ 19,8=4 vc=c2 S=10,682⋅ 19,8=3,71
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9,9⋅ 10,689,92+10,682−42)=21°59′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 10,6842+10,682−9,92)=67°58′ γ=180°−α−β=180°−21°59′43"−67°58′=90°2′16"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,2919,8=1,61
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,611⋅ 12,294⋅ 9,9⋅ 10,68=5,34
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 9,92+2⋅ 10,682−42=10,101 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 10,682+2⋅ 42−9,92=6,366 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 9,92−10,682=5,338
Vypočítat další trojúhelník