Trojúhelník 4.06 2.5 2
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 4,06
b = 2,5
c = 2
Obsah trojúhelníku: S = 1,95548374459
Obvod trojúhelníku: o = 8,56
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,28
Úhel ∠ A = α = 128,56219167948° = 128°33'43″ = 2,24438287407 rad
Úhel ∠ B = β = 28,78325690761° = 28°46'57″ = 0,50223505976 rad
Úhel ∠ C = γ = 22,65655141291° = 22°39'20″ = 0,39554133153 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 0,96329741113
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,56438699567
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,95548374459
Těžnice: ta = 1,0022047903
Těžnice: tb = 2,94660651724
Těžnice: tc = 3,22197515432
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,4576737721
Poloměr opsané kružnice: R = 2,59661237905
Souřadnice vrcholů: A[2; 0] B[0; 0] C[3,55884; 1,95548374459]
Těžiště: T[1,85328; 0,6521612482]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1; 2,39658002287]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,78; 0,4576737721]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 51,43880832052° = 51°26'17″ = 2,24438287407 rad
∠ B' = β' = 151,21774309239° = 151°13'3″ = 0,50223505976 rad
∠ C' = γ' = 157,34444858709° = 157°20'40″ = 0,39554133153 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4,06 b=2,5 c=2
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4,06+2,5+2=8,56
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=28,56=4,28
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=4,28(4,28−4,06)(4,28−2,5)(4,28−2) S=3,82=1,95
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=4,062⋅ 1,95=0,96 vb=b2 S=2,52⋅ 1,95=1,56 vc=c2 S=22⋅ 1,95=1,95
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 2,5⋅ 22,52+22−4,062)=128°33′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4,06⋅ 24,062+22−2,52)=28°46′57" γ=180°−α−β=180°−128°33′43"−28°46′57"=22°39′20"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=4,281,95=0,46
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,457⋅ 4,284,06⋅ 2,5⋅ 2=2,6
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 2,52+2⋅ 22−4,062=1,002 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22+2⋅ 4,062−2,52=2,946 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 4,062+2⋅ 2,52−22=3,22
Vypočítat další trojúhelník