Trojúhelník 44 26 51

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 44
b = 26
c = 51

Obsah trojúhelníku: S = 571,99333893849
Obvod trojúhelníku: o = 121
Semiperimeter (poloobvod): s = 60,5

Úhel ∠ A = α = 59,62550839964° = 59°37'30″ = 1,04106540325 rad
Úhel ∠ B = β = 30,65503775432° = 30°39'1″ = 0,53549500051 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,72545384604° = 89°43'28″ = 1,5665988616 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 265,9996995175
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 43,99994914911
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 22,43111133092

Těžnice: t_a = 33,97879340161
Těžnice: t_b = 45,82203011775
Těžnice: t_c = 25,60876160546

Poloměr vepsané kružnice: r = 9,45444361882
Poloměr opsané kružnice: R = 25.55002947074

Souřadnice vrcholů: A[51; 0] B[0; 0] C[37,85329411765; 22,43111133092]
Těžiště: T[29,61876470588; 7,47770377697]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[25,5; 0,12325975707]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[34,5; 9,45444361882]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 120,37549160036° = 120°22'30″ = 1,04106540325 rad
∠ B' = β' = 149,35496224568° = 149°20'59″ = 0,53549500051 rad
∠ C' = γ' = 90,27554615396° = 90°16'32″ = 1,5665988616 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 44 b = 26 c = 51

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 44 + 26 + 51 = 121

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2 1}{2} = 60, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 60, 5 (60, 5 - 44) (60, 5 - 26) (60, 5 - 51) S = 327176, 44 = 571, 99

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 7 1 , 9 9}{4 4} = 26 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 7 1 , 9 9}{2 6} = 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 7 1 , 9 9}{5 1} = 22, 43

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 5 1 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 5 1}) = 59 ° 3 7^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 4 ^{2} + 5 1 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 4 4 \cdot 5 1}) = 30 ° 3 9^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 59 ° 3 7^{'} 30 " - 30 ° 3 9^{'} 1 " = 89 ° 4 3^{'} 28 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 7 1 , 9 9}{6 0 , 5} = 9, 45

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 4 \cdot 2 6 \cdot 5 1}{4 \cdot 9 , 4 5 4 \cdot 6 0 , 5} = 25, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 5 1 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2} = 33, 978 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 1 ^{2} + 2 \cdot 4 4 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 45, 82 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 4 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 5 1 ^{2}}{2} = 25, 608

Vypočítat další trojúhelník