Trojúhelník 5 11 12

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 11
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 27,49554541697
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Úhel ∠ A = α = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Úhel ∠ B = β = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,15992794807 rad
Úhel ∠ C = γ = 88,95882011495° = 88°57'30″ = 1,55326135067 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,99881816679
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,99991734854
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,5832575695

Těžnice: t_a = 11,23661025271
Těžnice: t_b = 7,36554599313
Těžnice: t_c = 6,08327625303

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,96439610121
Poloměr opsané kružnice: R = 6,00109919815

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[2; 4,5832575695]
Těžiště: T[4,66766666667; 1,52875252317]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 0,10991089451]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,96439610121]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ B' = β' = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,15992794807 rad
∠ C' = γ' = 91,04217988505° = 91°2'30″ = 1,55326135067 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 11 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 11 + 12 = 28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 8}{2} = 14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14 (14 - 5) (14 - 11) (14 - 12) S = 756 = 27, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 7 , 5}{5} = 11 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 7 , 5}{1 1} = 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 7 , 5}{1 2} = 4, 58

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 24 ° 3 7^{'} 12 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 2}) = 66 ° 2 5^{'} 19 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 24 ° 3 7^{'} 12 " - 66 ° 2 5^{'} 19 " = 88 ° 5 7^{'} 30 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 7 , 5}{1 4} = 1, 96

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 1 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 9 6 4 \cdot 1 4} = 6

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 11, 236 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 7, 365 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 6, 083

Vypočítat další trojúhelník