Trojúhelník 5 11 13
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 11
c = 13
Obsah trojúhelníku: S = 26,89221456935
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Úhel ∠ A = α = 22,09331769923° = 22°5'35″ = 0,38655986807 rad
Úhel ∠ B = β = 55,83877404834° = 55°50'16″ = 0,97545524183 rad
Úhel ∠ C = γ = 102,06990825244° = 102°4'9″ = 1,78114415545 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,75768582774
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,88994810352
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,13772531836
Těžnice: ta = 11,77992189894
Těžnice: tb = 8,17700673192
Těžnice: tc = 5,54552682532
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,85546307375
Poloměr opsané kružnice: R = 6,6476922192
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[2,80876923077; 4,13772531836]
Těžiště: T[5,26992307692; 1,37990843945]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -1,39898110038]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,85546307375]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,90768230077° = 157°54'25″ = 0,38655986807 rad
∠ B' = β' = 124,16222595166° = 124°9'44″ = 0,97545524183 rad
∠ C' = γ' = 77,93109174756° = 77°55'51″ = 1,78114415545 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=11 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+11+13=29
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−5)(14,5−11)(14,5−13) S=723,19=26,89
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 26,89=10,76 vb=b2 S=112⋅ 26,89=4,89 vc=c2 S=132⋅ 26,89=4,14
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 13112+132−52)=22°5′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1352+132−112)=55°50′16" γ=180°−α−β=180°−22°5′35"−55°50′16"=102°4′9"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=14,526,89=1,85
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,855⋅ 14,55⋅ 11⋅ 13=6,65
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 132−52=11,779 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 52−112=8,17 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 112−132=5,545
Vypočítat další trojúhelník