Trojúhelník 5 28 28
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 28
c = 28
Obsah trojúhelníku: S = 69,72204238369
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5
Úhel ∠ A = α = 10,24550321996° = 10°14'42″ = 0,17988095439 rad
Úhel ∠ B = β = 84,87774839002° = 84°52'39″ = 1,48113915549 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,87774839002° = 84°52'39″ = 1,48113915549 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 27,88881695348
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,98800302741
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,98800302741
Těžnice: ta = 27,88881695348
Těžnice: tb = 14,44395290782
Těžnice: tc = 14,44395290782
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,28659155356
Poloměr opsané kružnice: R = 14,05661394505
Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[0,44664285714; 4,98800302741]
Těžiště: T[9,48221428571; 1,66600100914]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; 1,25550124509]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 2,28659155356]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,75549678004° = 169°45'18″ = 0,17988095439 rad
∠ B' = β' = 95,12325160998° = 95°7'21″ = 1,48113915549 rad
∠ C' = γ' = 95,12325160998° = 95°7'21″ = 1,48113915549 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=28 c=28
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+28+28=61
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=261=30,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30,5(30,5−5)(30,5−28)(30,5−28) S=4860,94=69,72
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 69,72=27,89 vb=b2 S=282⋅ 69,72=4,98 vc=c2 S=282⋅ 69,72=4,98
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 28⋅ 28282+282−52)=10°14′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 2852+282−282)=84°52′39" γ=180°−α−β=180°−10°14′42"−84°52′39"=84°52′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=30,569,72=2,29
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,286⋅ 30,55⋅ 28⋅ 28=14,06
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 282+2⋅ 282−52=27,888 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 282+2⋅ 52−282=14,44 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 282−282=14,44
Vypočítat další trojúhelník