Trojúhelník 5 6 10

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 6
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 11,39990131152
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Úhel ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Úhel ∠ B = β = 27,12767531173° = 27°7'36″ = 0,47334511573 rad
Úhel ∠ C = γ = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 2,27883807635 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 4,56596052461
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3.87996710384
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,2879802623

Těžnice: t_a = 7,85881168228
Těžnice: t_b = 7,31443694192
Těžnice: t_c = 2,34552078799

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,08656202967
Poloměr opsané kružnice: R = 6,58795169496

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[4,45; 2,2879802623]
Těžiště: T[4,81766666667; 0,76599342077]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -4,27766860172]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,08656202967]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 152,87332468827° = 152°52'24″ = 0,47334511573 rad
∠ C' = γ' = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 2,27883807635 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 6 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 6 + 10 = 21

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1}{2} = 10, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 5 (10, 5 - 5) (10, 5 - 6) (10, 5 - 10) S = 129, 94 = 11, 4

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 , 4}{5} = 4, 56 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 , 4}{6} = 3, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 , 4}{1 0} = 2, 28

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 0}) = 22 ° 1 9^{'} 54 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 0 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 0}) = 27 ° 7^{'} 36 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 1 9^{'} 54 " - 27 ° 7^{'} 36 " = 130 ° 3 2^{'} 30 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 , 4}{1 0 , 5} = 1, 09

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 0 8 6 \cdot 1 0 , 5} = 6, 58

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 7, 858 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 7, 314 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 2, 345

Vypočítat další trojúhelník